التوزيع الاحتمالي الطبيعي

في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر يستخدم غالباً كتقريب أولي لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. إن لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالتابع الغاوسي أو منحني الجرس.

حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ 2 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ 2 = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.

يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء، والعلوم الطبيعية، والعلوم الاجتماعية [1] كنموذج بسيط للتعامل مع ظواهر معقدة. وعلى سبيل المثال، فإن خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعية. كما يحسب انتشار اللايقينpropagation of uncertainty باستخدام هذا الافتراض أيضاً.

لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي(كالأسعار، والدخول، وعدد السكان) تكون ملتوية نحو يمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي log-normal distribution،وتوزيع بارتو Pareto distribution.





التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل

الدالّة بحيث

هي دالة كثافة احتمالية : هي متواصلة وتكاملها على يساوي 1.

فاننا نعلم أن (تكامل غاوس).

ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقا من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينايساوي 0.

ملاحظات
الكثافة نظيرة
يمكن اشتقاق هذه الدالة عددا لا متناهيا من المرّات وتحقق مهما كان المعادلة التالية .



التعريف

نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة .

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.





خصائص التوزيع الاحتمالي الطبيعي
القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية



دالة التوزيع التراكمي

لتكن دالة التوزيع التراكمي (Cumulative distribution function-Fonction de répartition) للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x ب:.

وهي تكامل ونهايتها في تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.

خاصيات الدالة :
قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و.
نامية حصريا وتنتهي إلى 0 في وإلى 1 في .